AI4Math

作为一个正在经历历史变革的数学博士生，谈谈对 AI4Math 的看法。

数学研究

回到 AI 解中学数学题、高考题、IMO 竞赛题的阶段，很多人和我有类似的看法：那不是真正的数学。虽然我本人做竞赛非常一般，但我认为竞赛题并不是一个好的 benchmark，也不认为能做竞赛题就能做数学研究。
因为很多竞赛题是纯粹的技巧，是灵光一现，而不是深刻理解后自然而然地推进出结论。对「随机鹦鹉」式 AI 而言，大量探索并剪枝筛选等，依然非常有效。 竞赛题往往是有时限的，并且出题人是预期在这个时间内选手有可能解答的。这意味着，竞赛题依然是一个短程任务，而非长程任务。

而我对数学研究理解，是推进人们对数学对象的认识，并发展概念。问题是自然遇到的，而不是刻意提出的。这是一个极度的长程任务，需要高度抽象出的直观理解，才能决定长远的方向和目标，并且去探索路线。 更明显的区别在于，数学研究并不拥有现成的「题目」去做，而是要学者先去创造概念、描述问题。有时找到命题的正确陈述，或者选择恰当的符号本身，就附带着学者的直观理解。

解题能力

从今年五月左右，AI4Math 的成果逐渐在数学界产生巨大影响，包括 OpenAI 和 Anthropic 轮流发布论文，解决了几个大的数学问题；接着是各个团队推出的数学智能体框架（例如 Rethlas、Danus 等），从产生想法到定理证明、论文写作全流程自主完成。 再往后，是冲击四大甚至千禧年问题，还产生了许多争议性的结果。在写这篇博客的今天，OpenAI 又一次分享在数学领域的进展，一时间数学界哀鸿遍野。
很明显，AI 的解题能力已经令人类难以望其项背。

Misalignment

Tao 早早就是 AI 支持者，并频繁发博客赞叹对自己研究的帮助。但这几个月极速扭转，开始呼吁放慢 AI 研究。 这里很多人的误区在于，Tao（和包括我本人的很多人）反对的从来不是 AI 本身，而是像 OpenAI 这样的大公司对模型的不当使用。 这里先放下知识剽窃、隐私数据去标识化加入训练等争议，关键在于 OpenAI 这样抛出论文的方式，除了得到答案外，真的有助于数学研究吗？
对于数学知识本身而言，扩充的知识，当然是数学本身的进展；但对人类而言，这些文本真的进入到了人类知识的领域吗？

Math Infra

在《微积分的历程》一书中，提到了一个级数的证明

$$ \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} $$

其中讲到牛顿的天才方法，使用惊人的技巧，在 $\sin x$ 上运用几何切线和逆函数等一系列方法，得到了这个结果。当然，本质上用到了微积分（或者说流数术）。
但现在，任何一个通常水平的数学系本科学生，都能用 $\arctan x$ 的展开快速得到这个结果。而且如果是物理系的话，还不用考虑一致收敛、积分和级数交换关系。
这样的事情在数学界并不罕见，圆周率的计算方法、群论理解五次方程的角度、代数数论视角对初等数论问题的解决等。《高观点下的初等数学》中还有更多例子。

与《科学革命的结构》不同，数学确实是累积的学科。在数理逻辑/命题逻辑的框架下，过去的只有真实的错误，而不是范式转变下被抛弃的视角。
于是可以做这样一个比喻：数学研究是铺设火车轨道的工作，学习者搭火车到达最远端，然后下车继续延长轨道。 为了追求距离/快速铺设/到达目标，这轨道往往破烂不堪（可读性差的论文），在崎岖地形上蜿蜒（用曲折的、技术的方式证明）。
但是关于轨道还有另一种工作：绘制路线地图，把路面修理平整，重新找到最佳路线。

弗里曼·戴森曾提出（或转述）一个幻想：未来数学理论发展到某个程度，使得一个小学生可以在业余时间独立提出黎曼猜想，然后稍加思索后认为「这是显然的」。
我认为把这个叙事放在小学生头上确实是幻想，但如果放在研究生身上，黎曼猜想作为某个全新分支的标准教材课后习题，这就不只是幻想了。 因为历史就是如此，尺规作图不可能问题，完全可以作为伽罗瓦理论在五次方程求根公式不可能定理后，以课后练习形式的补充。
值得注意的是，现代学生并不比过往的数学家更聪明（也许甚至现在的 AI 也不如伽罗瓦，这个人太超模了），而且也不比过往的数学家更博识。 如果我们去翻看阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》，或者牛顿的《自然哲学的数学原理》，会发现大量现在教材没有、现代人通常也不掌握的知识。 上述级数证明也是一种近乎失传的知识。

那么，为什么现代人会能做出更出色的数学呢？因为我们在更加平整、快速、先进的轨道上，我们能像飞鸟一般看到数学概念的地图。 新来的人，这下是确确实实接受了最直白、最简洁、最不绕弯子的回答了。
整理数学、厘清概念关系、创造统一语言描述，这相当于数学界的基础设施建设。

理解、解释与创造

以 Jacobi 猜想为例，这个反例出现后，Tao 等人迅速给出了几何解释，稍晚就有人用这个思路给出了多族反例。

数学基建的工作，很大程度上就是理解、解释与创造，这往往需要飞鸟类型的数学家，将人类带到更高的层面。
格罗滕迪克可能是最著名的「飞鸟」型数学家，他将塞尔 80 页的 FAC-代数凝聚层和 300 页巨著《代数几何基础》缩写到了 1500 余页的 EGA。 格罗滕迪克用抽象的概型理论、范畴论重新定义、解释了古典代数几何这门学科，极大拓宽了这个分支的概念范围，使得众多过去极富技巧性的证明成为新框架下显然的结论。
伽罗瓦、格罗滕迪克等人的工作，就是理解数学技巧、解释背后含义、并创造出新的概念。

值得一提的是，在新的框架下，那些复杂性不会消失。麦克斯韦方程组包含 20 余个偏微分方程，用纳布拉算子重写成旋度与散度后只剩 4 个，在借助更复杂的数学概念后，麦克斯韦方程组和广义相对论都可以写成仅一个方程。 但是计算的复杂性没有消失，每一个最初的方程都要实际计算。
牛顿-莱布尼茨公式 $\int_a^b f \mathrm{d}x = F(b)-F(a)$ 是很多人最先接触到的高等数学，在大学很多人会学到二重积分、三重积分，还会学到向量场在曲线、曲面的积分。 这同样有一条公式来高度抽象这个结果：$$\int_{\partial D}\omega = \int_D \mathrm{d}\omega.$$ 即使有了这层抽象，计算依然需要展开才有可能；但没有这层抽象，我们就几乎不可能得出 de Rham 理论。

一部分人对 AI 成果依然停留在「人类知识凸包」的评价，如果选择某种定义，这确实成立。
从数理逻辑的意义下，一切可被证明的问题，都属于公理和定义的凸包。但公理和定义是不同的，公理实际只有寥寥几条，而定义则是可以不断创造的。或者更准确地说，定义是可以被不断封装的。
我们十分习惯的复数概念，就经历了自然数（皮亚诺公理）-整数（幺半群到群/环）-有理数（整环到分式域）-实数（完备化）-复数（代数闭包）的反复封装。但我们并不是这样理解复数的。
拓宽人类对数学理解的，不止有新的定理，又是新的恰当的定义更为重要。

但回顾 AI 的成果，仍然停留在解答具体问题上。在它写作糟糕的论文里，也难以看出高度抽象的思路。如果做一个类比，这就像某个难题可以靠 de Rham 理论解答，但在证明中只字不提，而是用多重积分的展开形式写作，这无疑是可怕的。
也许 AI 依旧是「青蛙」类型的研究者，用它强横无匹的实力强行碾压困难，也许它已经是「飞鸟」型的思考者，只是隐藏了抽象思考，或者它已经表达出来，而人类还未能接受。
但无论如何，它从高处投下的果实，都无法带领人类再上一层。

教育

除去研究之外，数学在人类社会中的一个重要部分是数学教育。

在基础数学里，就我自身的感受，大部分人从小就是以自学为主的，几乎没有人在中学靠听课来学习。互联网时代，知识早就触手可及，AI 时代就更明显了。 同样每个时代都有人用这样的信息差获取优势，之前是替人网络搜索讯息，现在是利用 AI 翻译文献倒卖。
原本有自学能力的人，在 AI 的加持下只会学得更快更好，而原本就不自学的人，依旧只会利用 AI 偷懒而不是提升自己。
所以真正的教育问题不在于如何 AI 学习，而是如何借助 AI 让学生「想」学习，以及如何筛选出值得学习的内容。

在具体教育之外，另一项任务是数学知识的整理。过往要么是功成名就的数学家在前沿研究力有不逮时去做的，要么依赖专门的教育工作者，要么是具有责任心的数学工作者暂缓事业追求去完成。
也许在研究任务全面转向 AI 的时代，这份工作会成为人类数学家的主业。这未尝不是一件好事，毕竟图书馆管理员是相当美好的一项职业：如果有天堂，天堂应该是图书馆的样子。